[2015년 정발고]

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[2학년(이과) 2학기 기말 미적분2]

함수 [eqn: f(x)=3^2x-1]에서 [eqn: f`'(1)]의 값을 구하면? [3.8점]

④

① [eqn: ln3]	② [eqn: 2ln3]	③ [eqn: 4ln3]
④ [eqn: 6ln3]	⑤ [eqn: 8ln3]

함수 [eqn: f(x)=ln(3x-2)]에 대하여 [eqn: f`'(5)= { q} over { p}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하면? (단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소) [3.8점]

②

① [eqn: 14]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 18]
④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 22]

[eqn: lim_n->inf { 2pi} over {n }left(sin { pi} over { n}+sin { 2pi} over {n }+sin { 3pi} over { n}+cdots+ sin{ n pi} over {n }right)]의 값을 구하면?
[3.9점]

④

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: (-1,```0)]에서 곡선 [eqn: y=e^x]에 그은 접선의 방정식을 [eqn: y=ax+b]라고 할 때, 실수 [eqn: a+b]의 값을 구하면? [3.9점]

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]에 대하여
[eqn: lim_x->1 { f(x)-1} over { x-1} =-3]가 성립한다. 다음 보기 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4.0점]

⑤

ㄱ. [eqn: f(1)=1]

ㄴ. [eqn: f`'(1)=-3]

ㄷ. [eqn: g(x)=x left{f(x)right}^2]에 대하여 [eqn: g'(1)=-5]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f(x)=e^ax+b sinx]에 대하여 [eqn: f`'(0)=1], [eqn: f`''(0)=2]일 때, 실수 [eqn: a+b]의 값을 구하면? [4.1점]

①

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: x]에 관한 방정식 [eqn: ae^x -x+1=0]이 서로 다른 두 실근을 가질 때, [eqn: a]의 값의 범위는? [4.2점]

③

① [eqn: a< { 1} over { e^2}]	② [eqn: - {1} over {e} <a< {1} over {e ^{2}}]	③ [eqn: 0<a< {1} over {e ^{2}}]
④ [eqn: {1} over {e ^{2}} <a< {1} over {e}]	⑤ [eqn: a> { 1} over {e^2 }]

미분가능한 함수 [eqn: f(x)]의 역함수 [eqn: g(x)]에 대하여 다음 조건을 만족한다.

이 때, [eqn: f`'(-3)]를 구하면? [4.3점]

Ⅰ. [eqn: g(-x)=-g(x)]

Ⅱ. [eqn: lim_x->2 { g(x)-3} over { x-2}=4]

④

① [eqn: -{ 1} over { 4}]	② [eqn: - {1} over {2}]	③ [eqn: 1]
④ [eqn: 1over4]	⑤ [eqn: 1over2]

곡선 [eqn: y=ln(x+1)]과 두 직선 [eqn: y]축과 [eqn: y=2]로 둘러싸인 도형의 넓이는? [4.4점]

③

① [eqn: e^2 -1]	② [eqn: e ^{2} -2]	③ [eqn: e ^{2} -3]
④ [eqn: e ^{2} -4]	⑤ [eqn: e ^{2} -5]

함수 [eqn: f(x)= {(x+2)(1-x ^{2} )} over {(x+1) ^{3}}]의 [eqn: x=0]에서의 미분계수를 구하면? [4.5점]

⑤

① [eqn: -9]	② [eqn: -8]	③ [eqn: -7]
④ [eqn: -6]	⑤ [eqn: -5]

정적분 [eqn: int_0 ^2 sqrt { 2x-x^2 }dx]와 반지름의 길이가 [eqn: r]인 원의 넓이가 같을 때, [eqn: r]의 값은? [4.6점]

①

① [eqn: 1over sqrt { 2}]	② [eqn: 1over sqrt { 3}]	③ [eqn: 2]
④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: 4]

[eqn: int _{1} ^{e ^{2}} {2} over {x(2+lnx) ^{3}} dx]의 값을 [eqn: {b} over {a}]라고 할 때, [eqn: a+b]의 값은? ([eqn: a], [eqn: b]는 서로소) [4.7점]

④

① [eqn: 16]	② [eqn: 17]	③ [eqn: 18]
④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 20]

닫힌 구간 [eqn: [-1,```1]]에서 함수 [eqn: f(x)=tan { pi} over {4 }x]의 그래프와 그 역함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하면 [eqn: a- { b} over {pi }`ln2]이다. 이때, 두 수의 곱 [eqn: ab]의 값은? [4.8점]

②

① [eqn: 4]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 32]
④ [eqn: 64]	⑤ [eqn: 128]

함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(x)=cospix+int_0 ^{1over2} f(t)dt]를 만족할 때,
[eqn: f(2)]를 구하면? [4.9점]

②

① [eqn: 2overpi]	② [eqn: 1+ { 2} over {pi }]	③ [eqn: 2+ {2} over {pi }]
④ [eqn: 3+ {2} over {pi }]	⑤ [eqn: 4+ {2} over {pi }]

[eqn: f(x)=int _{1} ^{x} {t ^{2} +1} over {t} dt]일 때, 극한값 [eqn: lim _{x -> 2} {} {f left( { 1} over {2 }x right) } over {x-2}]의 값은? [5.0점]

①

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

반지름의 길이가 [eqn: 4]인 원의 한 지름 [eqn: rmAB]에 수직인 현을 밑변으로 하고, 이 원의 평면에 수직이고 높이가 [eqn: 5]인 이등변삼각형을 [eqn: rmA]에서 [eqn: rmB]까지 움직였을 때, 이 삼각형이 그리는 입체의 부피는? [5.1점]

③

① [eqn: 20pi]	② [eqn: 30pi]	③ [eqn: 40pi]
④ [eqn: 50pi]	⑤ [eqn: 60pi]

서술형

[eqn: f` prime (x)= {cases{{1+cos2x} over {2}&```(x>0)#k`sinx&```(x<0)}}], [eqn: f(pi)=f(-pi)=0]이고, [eqn: f(x)]가
[eqn: x=0]에서 연속일 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하기 위해 주어진 문제에 답하시오. [총10점]

(1) [eqn: { x} over { 2}+ { sin2x} over {4 }- { pi} over { 2}]

(2) [eqn: -{ pi} over { 4}`cosx- { pi} over {4 }]

(3) [eqn: piover4]

(1) [eqn: x>0]일 때, [eqn: f(x)]를 구하는 과정과 답을 서술하시오. [4점]

(2) [eqn: x<0]일 때, [eqn: f(x)]를 구하는 과정과 답을 서술하시오. [4점]

(3) 상수 [eqn: k]의 값을 구하는 과정과 답을 서술하시오. [3점]

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: I_n =int_0 ^1 x^n e^x dx]라고 할 때, 다음 물음에 풀이과정과 답을 서술하여라. [총10점]

(1) [eqn: 1]

(2) [eqn: e]

(1) [eqn: n=1]일 때, [eqn: I_1]의 값을 구하는 과정과 답을 서술하시오.

[4점]

(2) [eqn: n ge2]인 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: I_n =int_0 ^1 x^n e^x dx]라고 할 때,

[eqn: nI_n-1 +I_n]의 값을 구하는 과정과 답을 서술하시오. [6점]

그림과 같이 좌표평면에서 원 [eqn: x^2 +y^2 =1] 위의 점 [eqn: rmP]가 점 [eqn: (1,```0)]에서 출발하여 원점을 중심으로 매초 [eqn: 1 } over { 20}](라디안)의 일정한 속력으로 원 위를 시계 반대 방향으로 움직이고 있다. 점 [eqn: rmP]에서 [eqn: x]축에 평행한 직선을 그을 때, 원과 [eqn: x]축과 직선으로 둘러싸인 어두운 부분의 넓이를 [eqn: S]라 할 때, 주어진 문제에 답하시오. [총10점]

(1) [eqn: cos left({ 1} over {20 }t right)sin left({ 1} over {20 }t right) + { 1} over { 20}t]

(2) [eqn: {3} over {40}]

(1) 점 [eqn: rmP]가 제[eqn: 1]사분면에 있을 때, [eqn: t]초 후 넓이 [eqn: S]를 구하는

과정과 답을 서술하시오. [4점]

(2) 점 [eqn: rmP]가 점 [eqn: left( { sqrt { 3} } over { 2},``` { 1} over { 2}right)]을 지나는 순간, 넓이 [eqn: S]의 시간

[eqn: t](초)에 대한 변화율을 구하는 과정과 답을 서술하시오.

[6점]

[2015년 정발고]

[2학년(이과) 2학기 기말 미적분2]

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